Matematik Meraklılarına

"Matematikçiler Nelerle Uğraşıyorlar ?" konusunu daha fazla uzatmamak için yeni bir sunuda bazı bilgileri aktarmayı düşündüm.

Anlatımda tam olarak matematiksel anlatım-ispat yerine biraz daha anlaşılır ifadeler kullanmaya çalıştım. Doğrudan Fibonacci dizisini ve Altın oranı vermek yerine problem çözümünü de göstermek istedim. Burada amacım yazıyı okuyan arkadaşlarımıza beyin cimnastiği yaptırmak idi.

FİBONACCİ DİZİSİ

Matematiği Cezayirli bir ustadan öğrenen Leonardo Fibonacci (1175-1250) Liber Abaci (Abaküs Kitabı) kitabında (Kilise tarafından yasaklanmış bir kitaptır) tavşan çiftliği sahibi bir arkadaşının ortaya attığı bir problemden bahseder.Problemimiz şudur: Tavşanlar doğduktan iki ay sonra yavrulamaya başlayabilmektedir. Bir çift tavşanla başlanırsa, kaç ay sonra kaç çift tavşan sayısına ulaşılır?

Problemin çözümü şu şekildedir.

Alıntı

Problem, n. ayda T tavşan sayısı olmak üzere T = T şeklinde n’ye bağlı bir T fonksiyonu bulmaktır.
Problemin karakterinden hemen farkedileceği gibi, herhangi bir aydaki tavşan sayısı bir önceki aydaki tavşan sayısına bağlıdır. Bu sebepten, Tk+1 = Tk+1(Tk) şeklinde iterasyonlu bir fonksiyon bulmak gerekecektir.
Çözüm: (n+2). ayda bulunuluyor olunsun.
Bu ayda, (n+1). aydaki tavşan sayısı aynen muhafaza ediliyor olacaktır. Ayrıca, n. ayda doğmuş tavşanlar, iki aylık yavrulayamama sürelerini n. ve (n+1). ay boyunca gçirmiş olacaklarından (n+2). ayda bir n sayısı kadar yavru yapacaklardır. Yâni,
n eZ + ve T1 = T2 = 1 olmak üzere
Tn+2 = Tn+1 + Tn
şeklinde bir dizi Fibonacci dizisidir ve ilk birkaç terimi şöyledir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

İlk iki ayda yavrulamayan tavşanlar(dizide 1,1) iki ay sonunda yavrular ve sayı 2 olur.4.ayda 1 yavru daha -ilk yavru bu dönemde yavrulayamaz- 3 olur. Bir sonraki ay ilk tavşandan 1 yavru ve ilk bebek tavşandan 1 yavru daha eder 5.....bu şekilde devam eder. Güzel bir beyin cimnastiğidir.

Sonuç olarak Fibonacci Dizisi : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,....(her sayı kendinden önceki 2 sayının toplamına eşittir) elde edilir. Peki yaşantımızda nerdedir bu sayı??

Fibonacci dizisi elbette tavşanların âile hayatından ibaret değildir; tabiatın, şimdiye kadar gözlenmiş temel matematikî formlarından biridir:

- Ayçiçeklerinin sağ ve sol sarmal sayıları 34/55, 55/89, 89/144 oranı
- Çam kozalaklarının sağ ve sol sarmallarında 5/8, 8/13 oranı
- Tim çiçeklerin çiçek yaprağı sayısının Fibonacci dizisinin herhangi bir terimini vermesi (kardelende 3, düğünçiçeğinde 5, bitotta 8, aynısafâda 13, yıldızçiçeğinde 21, çayır papatyasında 34, 55 veya 89 ...)
- Her ağacın bir nesilde çıkan dal sayısının kesin olarak Fibonacci dizisini takip etmesi
- Arıların soyağacında, Eperya örümceğinin ağındaki spirallerde, helis ve spiral formundaki yapılara sahip (boynuz, deniz minaresi vs.) hayvanların bu türden yapılarında altın oranın tam kuvvet veya katlarının görülmesi gibi birçok örnek büyük bir düzenin karşısında durduğumuzu ihtar eder.

ALTIN ORAN

Fibonacci dizisinin sanata katkısı da şu şekildedir.

Alıntı

Fibonacci dizisi altın oranayakınsar. Şöyle; limn→∞ ( Tn+1 / Tn ) = φ ( Cauchy Oran Testi)

Altın Oran kavramı Eski Yunan medeniyetinin sanatta estetik arayışı ile ortaya çıkmıştır. Soru şudur: Sonlu uzunluklu bir doğru parçası, “en güzel” şekilde nasıl ikiye bölünür?

Alıntı

Çözüm: Böldüğümüz doğru parçasının kısa kısmı x, uzun kısmı y olsun.
(x ⁄ y ) = x / (x + y)
denklemini sağlayan , kısa kısmın uzun kısma oranının, uzun kısmın bütüne oranına eşit olduğu ( y / x ) oranına altın oran denir.

Keops Piramidi, Atina Parthenon Mâbedi, Notre-Dame Katedrali, İnce Minareli Medrese Tac Kapısı, Davud Paşa Camii, Divriği Külliyesi gibi mimarî eserlerde, Mozart’ın özellikle geç dönem piyano sonatlarında, Rönesans ve Klâsik dönem resim ve heykellerinde, Le Courbusier’in insanî mimarlık anlayışında, ve hatta Eisenstein’ın Potemkin Zırhlısı’ndaki zirve sahnelerin yerleştirilme aralıklarında, insan tabiatına en uygun nispet olarak görüldüğü için altın oran kullanılır.

oha buda ne? hadi matematikci türkler neredesiniz?

Alıntı:
Çözüm: Böldüğümüz doğru parçasının kısa kısmı x, uzun kısmı y olsun.
(x ⁄ y ) = x / (x + y)
denklemini sağlayan , kısa kısmın uzun kısma oranının, uzun kısmın bütüne oranına eşit olduğu ( y / x ) oranına altın oran denir.



Ya matematikten fazla anlamamda bu nasıl oluyor ve nerde kullanılıyor. Teferrüatlı bir örnek verebilirseniz sevinirim.(Nasıl oluyor derken x/y=x/(x+y) eşitliğini verecek sayılar nedir falan yani)

Zetich Nickli Üyeden Alıntı

Alıntı:
Ya matematikten fazla anlamamda bu nasıl oluyor ve nerde kullanılıyor. Teferrüatlı bir örnek verebilirseniz sevinirim.(Nasıl oluyor derken x/y=x/(x+y) eşitliğini verecek sayılar nedir falan yani)

Öncelikle şunu belirtmeliyim ki Altın Oranı biz yani insanoğlu bulmadı. Bu oran zaten kendisini doğada barındırıyordu (İsterseniz bir yaratılış mucizesi diyebilirsiniz) Unutmayın ki insan matematik ile birşeyler bulup yaratamaz. Sadece var olanı açığa çıkarır yani keşfeder.
Önce Altın Oranı hatırlayalım. Daha önce yukarı da

Alıntı

Çözüm: Böldüğümüz doğru parçasının kısa kısmı x, uzun kısmı y olsun.
(x ⁄ y ) = x / (x + y)
denklemini sağlayan , kısa kısmın uzun kısma oranının, uzun kısmın bütüne oranına eşit olduğu ( y / x ) oranına altın oran denir.

şeklinde tanımlamıştık.

Altın Oran π (Pi) gibi irrasyonel bir sayıdır ve 1.618033988749894... ye eşittir.
Genel olarak (1+kök 5)/2 biçiminde gösterilir.
Doğada, pek çok canlıda(insan da dahil) bu oran görülmektedir.Bazıları, bu oranın doğada bir ölçü olduğunun kanıtı olduğunu ileri sürer.Altın Oran'ın Kuran'daki şu âyetle ilişkili olduğu öne sürülmüştür:
"Allah, her şey için bir ölçü kılmıştır." (Talak Suresi, 3)
Alın size bir Matematik Ayeti....
Doğada gözümüze muntazam olarak görülen herşey altın orana (1,6180...) sahiptir. Bu orana sahip olmayan cisim gözümüze anormal görünür.

Altın oranla ilgili örneklere gelince. İnanın o kadar çok var ki hangi birinden başlıyacağımı bilmiyorum. Mesela kendimize bakalım.




İşte insan için bazı örnekler;
_göbek ile ayak arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun 1,618'e denk gelmesi,
_Parmak ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası,
_Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu,
_Göbek-baş ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe,
_Göbek-diz arası / Diz-ayak ucu arası.
_Yüzün boyu / Yüzün genişliği,
_Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu,
_Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası,
_Ağız boyu / Burun genişliği,
_Burun genişliği / Burun delikleri arası,
_Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.

_Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam boyunun İlk iki boğuma oranı altın oranı verir (baş parmak dışındaki parmaklar için). Ayrıca orta parmağın serçe parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz. (Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 87.)

2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5 parmak vardır ve bunlardan sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5 ve 8 fibonocci sayılarına uyar.

ve daha birçok örnek...


Bunlar sadece insan için verdiğimiz örnekler. Doğada ki her yaratılmışda bu örnekleri bulabilirsiniz(Ağaçların yapraklarının yerleşiminde bile)


Ve işte insan doğadaki bu oranı keşfeder ve kendi yapıtlarında bu oranı kullanmaya başlar. Gerçektende bu orana sahip yapıtlar-sanat eserleri insana daha estetik gelmektedir. Bu oranın sanatta ve mimaride kullanımı eski yunan medeniyetlerine kadar dayanır. En belirgin kullanıcılarından biri de Leonardo Da Vinci dir. En meşhur tablolarından birine bakın mesela Monalisa.

Mona Lisa'nın başının etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dört kenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.


vs...vs...vs... hangi birini anlatayım üstadım şaştım.

Ama bunu anlamak zor değil. Bir kalem bir de kağıt alın elinize. Kağıt üzerine irili ufaklı rastgele yani ölçümsüz dikdörtgenler çizin. (Dikkat edin hep aynı büyüklükte olmasın malum el alışkanlığı ) Daha sonra bu kağıda dikkatlice bakın. İçlerinden biri veya birkaçı size daha estetik gelecektir. Yukarıda verdiğimiz oranı kontrol ederseniz bu estetik dikdörtgenin (lerin) altın orana en yakın şekil olduğunu göreceksiniz.


Üfffff amma yazmışım. Aslında az bile. Türkiye de olmasada inanın sadece bu 1.618033988749894... sayısı ile ilgili (Altın Oran) onlarca makale ve kitap bulabilirsiniz. Beni yazdıklarım sadece devede kulak. Umarım yardımcı olabilmişimdir.